domingo, 2 de agosto de 2015

Variable Aleatoria. Ejemplo y Caracterización

Variable Aleatoria. Ejemplo

Supongamos que se lanzan dos monedas al aire. El espacio muestral, esto es, el conjunto de resultados elementales posibles asociado al experimento, es
\Omega = \left\{\textrm{cc, cx, xc, xx}\right\},
donde (c representa "sale cara" y x, "sale cruz").
Podemos asignar entonces a cada suceso elemental del experimento el número de caras obtenidas. De este modo se definiría la variable aleatoria X como la función
X:\Omega\to \mathbb R
dada por
\textrm{cc} \to 2
\textrm{cx}, \textrm{xc} \to 1
\textrm{xx} \to 0
El recorrido o rango de esta función, RX, es el conjunto
R_X = \left\{0, 1, 2\right\}

Caracterización de variables aleatorias.

Tipos de variables aleatorias

Para comprender de una manera más amplia y rigurosa los tipos de variables, es necesario conocer la definición de conjunto discreto. Un conjunto es discreto si está formado por un número finito de elementos, o si sus elementos se pueden enumerar en secuencia de modo que haya un primer elemento, un segundo elemento, un tercer elemento, y así sucesivamente.
  • Variable aleatoria discreta: una v.a. es discreta si su recorrido es un conjunto discreto. La variable del ejemplo anterior es discreta. Sus probabilidades se recogen en la función de cuantía. (Véanse las distribuciones de variable discreta).
  • Variable aleatoria continua: una v.a. es continua si su recorrido no es un conjunto numerable. Intuitivamente esto significa que el conjunto de posibles valores de la variable abarca todo un intervalo de números reales. Por ejemplo, la variable que asigna la estatura a una persona extraída de una determinada población es una variable continua ya que, teóricamente, todo valor entre, pongamos por caso, 0 y 2,50 m, es posible.

Distribución de probabilidad de una variable aleatoria

Artículo principal: Distribución de probabilidad
La distribución de probabilidad de una v.a. X, también llamada función de distribución de X es la función F_X(x), que asigna a cada evento definido sobre X una probabilidad dada por la siguiente expresión:
F_X(x) = P( X \le x )
Y de manera que se cumplan las siguientes tres condiciones:
  1. \lim_{x \to -\infty} F(x) = 0 y \lim_{x \to \infty} F(x) = 1
  2. Es continua por la derecha.
  3. Es monótona no decreciente.
La distribución de probabilidad de una v.a. describe teóricamente la forma en que varían los resultados de un experimento aleatorio. Intuitivamente se trataría de una lista de los resultados posibles de un experimento con las probabilidades que se esperarían ver asociadas con cada resultado.

Función de densidad de una variable aleatoria continua

Artículo principal: Función de densidad de probabilidad
La función de densidad de probabilidad (FDP) o, simplemente, función de densidad, representada comúnmente como f(x), se utiliza con el propósito de conocer cómo se distribuyen las probabilidades de un suceso o evento, en relación al resultado del suceso.
La FDP es la derivada (ordinaria o en el sentido de las distribuciones) de la función de distribución de probabilidad F(x), o de manera inversa, la función de distribución es la integral de la función de densidad:
F(x)=\int_{-\infty}^x f(t)\,dt
La función de densidad de una v.a. determina la concentración de probabilidad alrededor de los valores de una variable aleatoria continua.
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